Functor 简介

什么是 Functor ?

现在你可以认为 Functor 是一种数据类型。

Functor 有什么用 ?

我们可以对 Functor 使用 fmap。

fmap 是什么东西 ?

fmap 是一个函数。

fmap 是函数的话，那它的类型签名是什么 ?

fmap :: (a -> b) -> f a -> f b。

我应该怎么看这个类型签名 ?

它接受一个函数和一个 Functor 类型作为参数，然后返回另一个 Functor 。

fmap 有什么用 ?

类似于 map map (+1) [1,2,3,4,5] -- 返回 [2,3,4,5,6] fmap (+1) [1,2,3,4,5] -- 返回 [2,3,4,5,6]

所以列表是 Functor ?

是的，List 是 Functor。

为什么列表是 Functor ?

因为列表实现了 fmap。

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instance Functor [] where
  fmap = map

实现了 fmap 的数据类型都是 Functor ?

不一定。

为什么 ?

除了要实现 fmap 之外，还需要满足一些条件才能成为 Functor。

满足什么条件 ?

  1. 必须保证 fmap id = id，也就是说 fmap id xs 和 id xs 必须返回相同的值。
  2. 必须是可组合的，两个 fmap 组合使用的结果应该和两个函数组合起来再用 fmap 的结果相同。 也就是说 fmap f . fmap g 必须等于 fmap (f . g)。

为什么 fmap id = id ?

因为 id :: a -> a fmap id :: T(a) -> T(a) 令 T(a) = a 即 fmap id :: a -> a 所以 fmap id = id

所以条件一是什么意思 ?

意思是 fmap 只能对值调用 f，不能做额外的事情。

有具体例子吗 ?

看看这个经典的自定义数据类型，C表示计数器：

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data CMaybe a = CNothing | CJust Int a deriving (Show)

instance Functor CMaybe where
  fmap f CNothing          = CNothing
  fmap f (CJust counter x) = CJust (counter + 1) (f x)

-- ghci

ghci> fmap (++ "ha") (CJust 0 "ho")
CJust 1 "hoha"
ghci> fmap (++ "he") (fmap (++ "ha") (CJust 0 "ho"))
CJust 2 "hohahe"
ghci> fmap (++ "blah") CNothing
CNothing

这里的 fmap 除了对值调用 f 之外，还对 counter 加一。

这有什么问题吗 ?

再看看 fmap id 和 id

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ghci> fmap id (CJust 0 "haha")
CJust 1 "haha"
ghci> id (Cjust 0 "haha")
CJust 0 "haha"

看出问题了吗 ?

fmap id 和 id 返回的结果不相等 ?

是的，所以即便 CMaybe a 实现了 fmap，但它也不是 Functor。

为什么 fmap (f . g) = fmap f . fmap g ?

假设 f :: a -> b, g :: b -> c 那么 f . g :: a -> c 即 fmap (f . g) = T(a) -> T(c) 又因为 fmap f = T(a) -> T(b), fmap g = T(b) -> T(c) 所以 fmap f . fmap g = T(a) -> T(c) 即 fmap (f . g) = fmap f . fmap g

条件二有点像乘法分配律。

是的。 乘法分配律是 (a + b) x c = a x c + b x c。 而条件二是 fmap (f . g) = fmap f . fmap g。

条件二有具体例子吗 ?

可以类比函数，因为函数本身也是 Functor，所以函数会满足可组合这个条件。 而实际应用中，我们也经常使用到函数组合这个特性。

实现了 fmap ，同时满足两个条件的数据类型就是 Functor 吗？

不，还有一个规则，就是该数据类型要有一个类型参数。

能举个例子吗 ?

我们已经知道 List 是一个 Functor，先看看 List 的定义：

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data [] a = [] | a : [a]

列表有一个类型参数 a，表示一个列表中可以包含相同类型的元素。

Functor 只能有一个类型参数吗？

不是，我们可以通过其他方法让多于一个类型参数的数据类型都能成为 Functor 的实例。

什么手段 ?

你需要先知道怎么定义一个 Functor。

自定义 Functor

我应该怎么自定义 Functor ?

先定义一个数据类型，再让该类型成为 Functor 的实例。

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data MyFunctor a = Data a deriving (Show)

instance Functor MyFunctor where
  fmap f (Data x) = Data (f x)

这样，我们定义的 MyFunctor 就是一个 Functor 了。

刚才提到的让多于一个类型参数的数据类型成为 Functor 实例的方法是？

利用 Haskell 中不全调用的特性。

可以给个例子吗？

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data MyFunctor2 a b = Data2 a b deriving (Show)

instance Functor (MyFunctor2 a) where
  fmap f (Data2 x y) = Data2 x (f y)

在 Haskell 中，我们可以利用 Haskell 不全调用的特性，把 MyFunctor2 a 当成一个整体，这样就相当于只有 b 一个类型参数了。

真 · Functor

我从上面看到，Functor 是一个类型类？

是的。事实上，Functor 是一个类型类，表示满足一些条件的数据类型。

满足上面提到的条件？

是的！

有哪些常见的 Functor ？

List, Maybe等等。 你可以在 ghci 中输入 :i Functor 来查看更多预定义的 Functor。

这些 Functor 有什么特点？

它们都带有上下文：即可以表示有值，也可以表示空值。 [] 表示空值，[a] 表示有值； Nothing 表示空值，Just a表示有值；

这样有什么好处吗？

好处是显然易见的。考虑下下面的伪代码：

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post = Posts.find_by_id(1)
if post
  return post.title
else
  return None

为什么这段伪代码需要判断 post 是否为空？因为 post 没有上下文环境，不能表示空值。 如果 post 有上下文环境 (也就是 post 可以表示空值)，那么我们的代码就可以直接写成：

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post = Posts.find_by_id(1)
return post.title

因此，如果一个值可以带有上下文环境的话，我们的代码就可以写的非常简洁。

把刚才的伪代码写成 Haskell 代码 ?

fmap (getPostTitle) (findPosts 1)

if else 不见了？

是的，这里假设 post 是一个 Functor，它可以表示带有空值的情况。所以 if else 就不需要了。

那 fmap 呢？ 它事实上是什么东西？

fmap 确确实实是一个函数，它知道怎么把传进的函数应用到 Functor 中，并返回一个新的 Functor。

fmap 对 Functor 调用函数的过程发生了什么？

看下面两张图 (图出自 Functors, Applicatives, And Monads In Pictures)： fmap_just fmap_nothing 实际上，fmap 先取出 Functor 中的值，然后把值传进函数中，再把函数的返回值放回到 Functor 中，最后返回新的 Functor。

Functor 有什么限制？

fmap f x 中的 f 只接受一个参数。 fmap f x 中的 f 不能带有上下文 (换句话说只能是 (+42) 不能是 Just (+42))。

关于 Functor 的知识，还有什么我是需要知道的 ？

fmap 可以中缀调用，即 f `fmap` xs <$> 是 fmap 的别名，一般用于中缀调用，即 f <$> xs。

总结

Functor 是类型类，只要满足以下条件的数据类型都可以成为 Functor 的实例：

  • 实现 fmap。
  • 保证 fmap id = id。
  • 保证 fmap (f . g) = fmap f . fmap g。
  • 该数据类型必须有一个以上的类型参数。

最后，强烈建议看看 这篇文章，相当形象生动。

特别感谢

@bramblex 给出 fmap id = id 和 fmap (f . g) = fmap f . fmap g 的证明过程。

参考资料