简介

本文《GAMES101-现代计算机图形学入门》系列教程的课程笔记，仅用于个人学习使用。

向量

向量是用来表示方向的量，它由两部分组成：大小、方向。从定义中可以看出，向量并不关心起始的绝对位置，它只关心朝向哪个方向，以及往该方向的长度。

方向

在数学上一般以 $\vec{AB}$ 表示由 A 指向 B 的向量，通常也会简化成 $\vec a$。

$$ \vec a = \vec {AB} = B - A $$

长度

向量 $\vec a$ 的长度用 $||\vec{a}||$ 来表示。

单位向量

单位向量是指长度为 1 的向量，以 $\hat a$ （读作 a hat）来表示。

计算公式：

$$ \hat a = \frac{\vec a} {||\vec{a}||} $$

向量加法

几何加法

在几何上，向量加法可以用三角形法则或平行四边形法则来表示。

算术加法

在算术上，直接把两个向量的各个坐标加起来即可。

$$ \vec a = (x_a, y_a) $$

$$ \vec b = (x_b, y_b) $$

$$ \vec a + \vec b = (x_a + x_b, y_a + y_b) $$

向量点乘 (Dot Product)

向量点乘的结果是一个数，这个结果在几何上和代数上有不同的意义。

几何意义

向量点乘在几何上的定义如下：

$$ \vec a \cdot \vec b = ||\vec a|| \cdot ||\vec b|| \cdot cos \theta $$

通常会有下面个变种形式：

$$ cos \theta = \frac{\vec a \cdot \vec b} {||\vec a|| \cdot ||\vec b ||} $$

当 $\vec a$ 和 $\vec b$ 为单位向量时：

$$ cos \theta = \vec a \cdot \vec b $$

点乘在几何上通常有以下这几种用途：

  • 求两个向量的夹角（计算 $cos \theta$ 的反三角函数）。
  • 求两个向量是同向还是背向（通过判断 $cos \theta$ 的正负）。
  • 求一个向量在另一个向量上的投影。 证明：

$$ \vec {b_\bot} = k \cdot \hat a $$

$$ k = ||\vec {b_\bot}|| = \vec b \cdot cos \theta $$

  • 分解向量（分解成一对相互垂直的向量的和）。

向量叉乘 （Cross Product）

向量叉乘通常写成如下的形式：

$$ \vec c = \vec a \times \vec b $$

所得结果 $\vec c$ 是一个同时垂直于 $\vec a$ 和 $\vec b$ 的向量。

需要注意的是，向量叉乘并不满足交换律，因此有： $$ \vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a $$

叉乘通常有以下几种用途：

  • 计算垂直向量。
  • 计算 $\vec b$ 在 $\vec a$ 的左边还是右边（在 XY 平面上，根据 z 的正负判断）。
  • 计算平面上的一点 P 是否位于三角面内部（$\vec{AB} \times \vec{AP}$、$\vec{BC} \times \vec{BP}$、$\vec{CA} \times \vec{CP}$ 的结果都在左边或都在右边）。

矩阵

矩阵由 m 行 n 列的数字组成，通常表示成 $m \times n$。

矩阵乘法

矩阵相乘通常表示成 $A \times B$，但两个矩阵必须满足一个条件才能相乘： A 的列数等于 B 的行数。

$$ A = (m \times n) $$

$$ B = (n \times p) $$

$$ A \times B = (m \times n)(n \times p) = (m \times p) $$

相乘后得到一个新的矩阵，由 m 行 p 列组成。

其中第 i 行 j 列的元素等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的点积。

需要注意的是，矩阵乘法并不满足交换律，即：

$$ A \times B \ne B \times A $$

但矩阵乘法满足分配律和结合率，即：

$$ (A + B)C = AC + BC $$

$$ (A \times B) \times C = A \times (B \times C) $$

转置矩阵

转置矩阵是指行列互换的矩阵。

转置矩阵有一个特殊的性质：

$$ (AB)^T = B^TA^T $$

矩阵与向量

矩阵可以与向量相乘，相乘时可以把向量当成是 $m \times 1$ 的矩阵。

点乘：

$$ \vec a \cdot \vec b = {\vec a}^T \cdot \vec b $$

$$ \vec a \cdot \vec b = (x_a y_a z_a) \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix} $$

$$ \vec a \cdot \vec b = (x_ax_b + y_ay_b + z_az_b) $$

叉乘（A^* 为一个特殊的矩阵，称为 dual matrix）：

$$ \vec a \times \vec b = A^*\vec b $$

参考资料

Lecture 02 Review of Linear Algebra